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關(guān)于Mathologer海倫公式一期視頻的注記

2023-05-25 13:07 作者:虞廷采風(fēng)人  | 我要投稿


出發(fā)點(diǎn):一個(gè)樸實(shí)無(wú)華的單位圓:)

視頻中在?S%3DR%2BG%2BB 這里費(fèi)了一番周折,其實(shí)可以用以下公式直接看出結(jié)果:

R%3Dtan%CE%B1%3B%20G%3Dtan%5Cbeta%20%3BB%3Dtan%5Cgamma%3B%20%20%5Calpha%2B%20%5Cbeta%2B%20%5Cgamma%20%3D%5Cpi%20%3B

%5Cbegin%7Beqnarray*%7D%0A%5Cimplies%20R%2BG%2BB%26%3D%26tan%5Calpha%2Btan%5Cbeta%2Btan(%5Cpi%20-(%5Calpha%2B%5Cbeta)%20%20)%0A%5C%5C%26%3D%26tan%5Calpha%2Btan%5Cbeta-tan(%5Calpha%2B%5Cbeta)%0A%5C%5C%26%3D%26tan%5Calpha%2Btan%5Cbeta-%5Cfrac%7Btan%5Calpha%2Btan%5Cbeta%7D%7B1-tan%5Calpha%20tan%5Cbeta%7D%0A%5C%5C%26%3D%26-%5Cfrac%7B(tan%5Calpha%2Btan%5Cbeta)tan%5Calpha%20tan%5Cbeta%7D%7B1-tan%5Calpha%20tan%5Cbeta%7D%0A%5C%5C%26%3D%26tan%5Calpha%20tan%5Cbeta%20tan%5Cgamma%3DRGB%0A%0A%5Cend%7Beqnarray*%7D

%5Cimplies%20S%3DRGB%3DR%2BG%2BB

然后考慮將三角形等比例放大,讓半徑由1變?yōu)?%20r(反過來(lái)想,任何三角形都有內(nèi)接圓,當(dāng)然可以用?1%2Fr 縮小成單位圓,故所有情況都囊括在其中,無(wú)有遺漏),則放大后的三角形有:

%5Cbegin%7Beqnarray*%7D%0A%0A%26%26S'%2Fr%5E2%20%3DR'G'B'%2Fr%5E3%3D(R'%2BG'%2BB')%2Fr%0A%5C%5C%26%5Cimplies%26%20r%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BR'G'B'%7D%7BR'%2BG'%2BB'%20%7D%20%7D%0A%5C%5C%26%5Cimplies%26%20S'%3Dr(%7BR'%2BG'%2BB')%20%7D%20%3D%5Csqrt%7BR'G'B'(R'%2BG'%2BB')%7D%0A%0A%5Cend%7Beqnarray*%7D

這就是海倫公式了!

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