? ? ? ?這是《阿基米德的方法》的最后一個命題了，本命題主要解決的是“牟合方蓋”的體積計算問題。在命題的解決過程中，阿基米德依然采用了杠桿原理和窮竭法來進行分析。為此，構(gòu)圖創(chuàng)造了一系列的立體圖形來輔助分析，其中有牟合方蓋的外切正方體，有內(nèi)接四棱錐及此四棱錐延伸后得到的大四棱錐，還有大四棱錐的外接長方體。再構(gòu)造整體圖形的杠桿系統(tǒng)，然后在立體圖形的任意位置用任一平面截取截面，在截面中再截取截線段，通過截線段之間的比例關(guān)系，營造杠桿兩段的平衡關(guān)系。接下來，通過線段的平衡關(guān)系，推出截面之間的平衡關(guān)系，進而疊加各個截面，形成立體圖形，最終得到各立體圖形之間的平衡關(guān)系。在“牟合方蓋”和四棱錐、四棱柱之間建立平衡關(guān)系，最后，在四棱柱、四棱錐和牟合方蓋的外切正方體之間進行等量代換，求得牟合方蓋體積與其外切正方體體積之間的比例關(guān)系，從而求得牟合方蓋的體積。

? ? ? ??對于此圖形的求積問題，我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖暅之也給出了類似的窮竭法來求體積。但是，祖暅之的方法更顯得簡潔明了。他是更具他會他的父親祖沖之一起研究得出的祖氏原理（祖暅原理）來進行推算的。祖暅原理的關(guān)鍵描述在一句話中：“冪勢既同，則積不容異?！彼囊馑际?，兩個立體圖形，如果它們在相同高度的水平截面面積都是相等的，則二者的體積也是相等的。

? ? ? ?正是有了“祖暅原理”的夾持，很多多立體圖形的體積問題的得到了順利的解決。祖暅之用此方法不但解決了牟合方蓋的體積問題，還捎帶解決了球體體積問題。當(dāng)然，這兩位天才都不約而同的采用了窮竭法，通過平面的疊加來得到立體圖形的數(shù)量關(guān)系。祖暅用下圖的方法求得了牟合方蓋的體積。

? ? ? ??在進行體積計算時，祖暅之首先將牟合方蓋如上兩圖進行八等分，取其中的一份進行研究。通過代數(shù)方法進行推算，可以得到在等高度h處的水平截面中的紅色區(qū)域具有相等的面積。所以，左圖中的牟合方蓋之外的體積就等于右圖中的四棱錐的體積。由于兩正方體的體積是相等的，則兩圖中的剩余部分的體積也相等，也即是左側(cè)的牟合方蓋等于右側(cè)的除掉四棱錐后的剩余部分。由于四棱錐體積等于正方體體積的三分之一，所以剩余體積是正方體體積的三分之二。也就得到了牟合方蓋體積是它的外切正方體體積的san分之二了。此外，祖暅之還用相同的方法求得了球體體積公式，如下圖：

?? ? 下面還是讓我們來具體看看阿基米德是如何借助杠桿原理來求牟合方蓋的體積的吧！

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