（圓錐曲線）兩點式的變換

2022-08-08 13:30 作者:因戀相思久 0人讀過 | 我要投稿

在圓錐曲線里有一種特殊的曲線，玩法多樣，二次結(jié)論多而精--拋物線

例如：拋物線 $y%5E2%20%3D2px$ 與直線交于AB兩點

設(shè)A（ $%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20%EF%BC%8Cy_%7B1%7D%20$ ）B（ $%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%8C%20y_%7B2%7D%20$ ）由兩點式可得直線AB

$y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20-%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%20%20%20%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%89$

$y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7B2p%EF%BC%88y_%7B1%7D%20-y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%7D%7B%EF%BC%88y_%7B1%7D%20%2By_%7B2%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88y_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B2p%7D%20%EF%BC%89$

$%EF%BC%88y-y_%7B1%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89%3D2px-y_%7B1%7D%5E2$

$%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89y%3D2px%2By_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20$

下面利用該直線解決特殊的問題

已知拋物線 $y%5E2%20%3D2px$ 的焦點 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$

（1）求拋物線方程

（2）如圖1，若A,B,C,D是拋物線上互不重合的四點，直線AC與直線BD交于 $P%EF%BC%883%2C0%EF%BC%89$ ，直線AB過焦點F，則直線CD是否過定點，若存在，求出定點，若不存在，說明理由

（1）拋物線的焦點 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$

所以 $%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%20%3D2$

$p%3D4$

拋物線的方程為 $y%5E2%3D8x$

（2）設(shè) $A(%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20%2Cy_%7B1%7D%20)%2CB(%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2C%20y_%7B2%7D%20)%2CC(%5Cfrac%7By_%7B3%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2C%20y_%7B3%7D%20)%2CD(%5Cfrac%7By_%7B4%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%2Cy_%7B4%7D%20%20)$

當(dāng)斜率存在時，直線AB為 $y-y_%7B1%7D%20%3D%5Cfrac%7By_%7B1%7D-%20y_%7B2%7D%20%7D%7B%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20-%5Cfrac%7By_%7B2%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%20%20%20%7D%20%EF%BC%88x-%5Cfrac%7By_%7B1%7D%5E2%20%7D%7B8%7D%20%EF%BC%89$

即 $%E7%9B%B4%E7%BA%BFAB%3A%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B2%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20$

同理得直線AC： $%EF%BC%88y_%7B1%7D%2B%20y_%7B3%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B1%7D%20y_%7B3%7D%20$

直線BD： $%EF%BC%88y_%7B2%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B2%7D%20y_%7B4%7D%20$

直線CD： $%EF%BC%88y_%7B3%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x%2By_%7B3%7D%20y_%7B4%7D%20$

因為直線AB過 $F%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89$ 有 $y_%7B1%7D%20y_%7B2%7D%20%3D-16$

直線AC,BD過 $P%EF%BC%883%2C0%EF%BC%89$ 有 $y_%7B1%7D%20y_%7B3%7D%20%3D-24$ ， $y_%7B2%7D%20y_%7B4%7D%20%3D-24$

因此 $y_%7B3%7D%20y_%7B4%7D%20%3D-36$

所以 $%EF%BC%88y_%7B3%7D%2B%20y_%7B4%7D%20%EF%BC%89y%3D8x-36$ 過定點 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

當(dāng)斜率不存在時得 $AB%E5%B9%B3%E8%A1%8CCD$ 設(shè)直線CD為x=a

不妨令 $A%EF%BC%882%2C4%EF%BC%89%EF%BC%8CC%EF%BC%88a%EF%BC%8C-%5Csqrt%7B8a%7D%20%EF%BC%89%EF%BC%88a%EF%BC%9E3%EF%BC%89$

有幾何關(guān)系得 $%5Cfrac%7B4%7D%7B3-2%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B8a%7D%20%7D%7Ba-3%7D%20$

化簡有 $2a%5E2-13a%2B18%3D0$

解得 $a%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20%EF%BC%88%E8%88%8D%EF%BC%89%EF%BC%8Ca%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20$

此時直線CD為 $x%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%20$ 過點 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

綜上，直線CD過定點 $%5Cvarphi%20%EF%BC%88%5Cfrac%7B9%7D%7B2%7D%2C0%20%EF%BC%89$

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