牛頓315、數(shù)學(xué)符號(hào)min{}；證明“兩個(gè)無窮小的和是無窮小”

2021年1月5日，網(wǎng)友“稻草人”發(fā)表名為《極限——極限運(yùn)算法則證明》的圖片文章。

…極、限、極限：見《歐幾里得218~303》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…運(yùn)、算、運(yùn)算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

?

圖片內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

?

極限運(yùn)算法則

?

定理：兩個(gè)無窮小的和是無窮?。ㄓ邢迋€(gè)無窮小之和也是無窮?。?/p>

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280》…

…和：見《牛頓35》…

?

證明：設(shè)α和β是當(dāng)x→x0時(shí)的兩個(gè)無窮小，根據(jù)無窮小的定義，得：

（x→x0）lim α=0，（x→x0）lim β=0

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個(gè)希臘字母…

…β：beta（大寫Β，小寫β，中文音譯：貝塔），是第2個(gè)希臘字母…

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

…lim：limit…

[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍

v.限制；限定；限量；減量…]

[無窮小

定義1 （直觀定義） 絕對(duì)值無限減小的變量稱為無窮小。

定義2 （直觀定義）

對(duì)于任給的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)M，使得不等式|x|＞M的一切x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無窮小量。

定義3

對(duì)于任給的正數(shù) ε（無論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x0（或x→∞）時(shí)的無窮小量。

——《牛頓314》]

?

再根據(jù)極限的定義（如上圖）得：

對(duì)于?（任意）ε＞0，?（存在）δ1＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ1時(shí)，有|α-0|<ε/2

對(duì)于?（任意）ε＞0，?（存在）δ2＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ2時(shí)，有|β-0|<ε/2

…?、?：見《牛頓309》…

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個(gè)字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

?

取δ=min{δ1，δ2}，則當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，|α-0|<ε/2，|β-0|<ε/2同時(shí)成立。

…min：minute前三個(gè)字母…

…minute（英文）：n.（名詞）分鐘；分；一會(huì)兒；一會(huì)兒的工夫；時(shí)刻。

adj.（形容詞）極小的；微小的；細(xì)微的；細(xì)致入微的；詳細(xì)的…

…min（最小數(shù)）（百度百科）2：min在數(shù)學(xué)中，專指一個(gè)區(qū)間內(nèi)最小數(shù)。如Fmin≤F≤Fmax…

?

那個(gè)min{，}什么意思？——網(wǎng)友提問

?

2015-11-19，藍(lán)格歲月：就是取{，}里面最小的值。

……

再根據(jù)極限的定義（如上圖）得：

對(duì)于?（任意）ε＞0，?（存在）δ1＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ1時(shí)，有|α-0|<ε/2

對(duì)于?（任意）ε＞0，?（存在）δ2＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ2時(shí)，有|β-0|<ε/2

從而|γ|=|α+β|≤|α|+|β|=ε/2+ε/2=ε

…γ：第三個(gè)希臘字母，讀做“伽（g?。R”，小寫為γ，大寫?！?/p>

?

也就是說，對(duì)?（任意）ε＞0，?（存在）δ＞0，當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí)，有|γ-0|<ε，即（x→x0）lim γ=0

用無窮小定義判斷，γ=α+β也是當(dāng)x→x0時(shí)的無窮小。

“定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

請(qǐng)看下集《牛頓316、證明“有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小”》”

?

若不知曉歷史，便看不清未來

歡迎關(guān)注嗶哩號(hào)“中國(guó)崛起呀”