本文寫作的目的，主要是為了解決以下問題：
一、簡單根據(jù)弦振動方程的解作出來的模擬，為什么不似真實(shí)樂器。
二、弦樂器發(fā)聲模擬的一般過程應(yīng)該是什么樣的。
三、為什么許多VST使用的算法完全不像物理模型那樣，并不求解這些方程組。

簡單弦振動方程，是科普常見的題材，也是有心音樂的愛好者們?nèi)腴T的起始。教科書和各種科普資料里，常常寫明講透了它的求解方法和解的形式（因此在此不再贅述），然后說明泛音列的組成，但很少說明這個(gè)弦的振動函數(shù)，是如何具體影響聽到的聲音的。因此，許多人在弦振動方程的解的基礎(chǔ)上做出的諸多對真實(shí)樂器的模擬，效果都很糟糕。
從發(fā)聲和傳聲的過程來看，如果只考慮一根弦，那么弦是首先要激發(fā)空氣振動，空氣振動再傳到聽者的耳朵里的。因此這里面有三個(gè)因素：弦、空氣和聽者。過程是，首先我們解出弦的振動函數(shù)；然后，這個(gè)振動函數(shù)要作為受迫振動的項(xiàng)，塞進(jìn)空氣中的聲波方程里去；這樣的聲波方程結(jié)合所在環(huán)境（屋子）的邊界條件，解出在聽者位置的聲壓變化函數(shù)；這就是聽者聽到的聲音。但是這個(gè)過程頗為復(fù)雜，實(shí)際過程中常常取簡便近似方法計(jì)算，認(rèn)為弦上某點(diǎn)對聽者位置的相位影響是只和路徑的長短有關(guān)的，在傳播過程中過了多少的相位就是多少，屋子墻壁反射的聲波按照走的總路程計(jì)算。之所以能這么算，還是因?yàn)榭諝庵新暡ǖ姆匠淌且粋€(gè)線性方程，它的解是可分散可疊加的。
由此說來，科普材料中常用的一種近似算法——把所有弦上點(diǎn)的振動函數(shù)相加，得到對聽者的總影響——這種算法相當(dāng)于認(rèn)定所有點(diǎn)不論位置對聽者的影響相同，不考慮反射、回聲，因此是在無限空曠環(huán)境中的一個(gè)遠(yuǎn)場近似。這個(gè)遠(yuǎn)場近似相當(dāng)于把弦振動函數(shù)中的位置項(xiàng)直接積分以去掉位置項(xiàng)，口算一下就會發(fā)現(xiàn)積出來一個(gè)1/n的因子；乘上平常泛音強(qiáng)度的1/n^2，可以認(rèn)為泛音的衰減在這種近似下是按照1/n^3進(jìn)行的。如果考慮聽者與弦的相對位置，并不考慮環(huán)境反射（空曠環(huán)境），計(jì)算會稍復(fù)雜一些，這相當(dāng)于空曠環(huán)境中的近場；這樣計(jì)算下來是有些不同的，但由于一般的聽者距離比上波長都要大很多，實(shí)際上相當(dāng)于遠(yuǎn)場，所以和遠(yuǎn)場近似區(qū)別不是很大。這些算法，無論怎么考慮空間位置，它的效果普遍都和真實(shí)樂器區(qū)別很大。
如果對弦振動方程，單獨(dú)考察其中弦上的某一點(diǎn)，那么這個(gè)這一點(diǎn)隨時(shí)間的位移是個(gè)三角波。這條性質(zhì)后文會使用。
前面已敘述是否以及如何考慮聽者與弦相對位置，都不能讓模擬的聲音接近真實(shí)樂器，所以直觀上應(yīng)當(dāng)考慮是否我們根據(jù)的弦振動方程有問題。確實(shí)有非線性的弦振動方程，它的解雖然復(fù)雜，但也是周期性的；這種非線性的弦振動方程，一般在工程上應(yīng)用于橋梁鋼索一類可能會大幅度振動的弦，并非樂器弦。因此還是要從線性或近似線性的角度來修正弦振動方程：一般采用的修正是一個(gè)剛性項(xiàng)（正比于位置的四階導(dǎo)數(shù)），一個(gè)阻尼項(xiàng)（正比于對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)），和一個(gè)修正阻尼項(xiàng)（正比于對時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)）；事實(shí)上這些項(xiàng)所預(yù)測的泛音偏差（非整數(shù)比的分音），包絡(luò)的衰減等等都在實(shí)際錄音數(shù)據(jù)中觀察到了。定性的來說，這些修正的解決了大部分存在什么頻率的問題，但是它沒有解決這些頻率強(qiáng)度的比例問題。
我們單用弦振動方程模擬出的聲音不似真實(shí)樂器，有一大部分是因?yàn)闆]有考慮到琴橋、面板與共振腔的緣故；面板才是樂器發(fā)聲貢獻(xiàn)最大的部分（否則為什么那么多樂器都在炒作面板）。

弦樂器發(fā)聲模擬的一般過程，基本上是弦的振動帶動琴橋，琴橋把受力傳遞給面板，面板受迫振動發(fā)聲；面板的聲音一部分通過空氣傳遞給聽者，另一部分被體腔所混響，再傳給聽者。
弦的振動，分橫振動（以上簡單和修正弦振動方程所描述的振動），以及一個(gè)縱向的壓縮/拉伸振動，后者是受前者迫使的振動。琴橋?qū)η傧艺駝拥淖饔?，由于它的機(jī)械阻抗變化不大且接近實(shí)值，一般被包含在琴弦振動方程修正項(xiàng)的兩個(gè)阻尼項(xiàng)里。而琴弦對琴橋的作用，認(rèn)為是弦末端振動時(shí)不斷變化的形狀曲線的斜率所導(dǎo)致的，牽引在琴橋上的拉力的的豎直分量的變化，當(dāng)然弦牽拉方向的水平分量也有變化。這其中，縱向振動修正了拉力，令它出現(xiàn)變化；橫向振動改變了拉力的作用方向。琴橋的受力，傳遞到面板上：豎直壓力被面板平衡，弦牽拉以及面板抵抗引起的扭矩被平衡；這樣就導(dǎo)致琴橋?qū)γ姘宓牧Σ皇翘幪幭嗤?，而是有一個(gè)分布。琴橋?qū)γ姘宓牧ζ仁顾駝?，我們解出面板的振動函?shù)，然后據(jù)此代入聲波方程的受迫項(xiàng)，可以計(jì)算聽者的音效和體腔的作用。
這里面幾個(gè)方程之中所包含的振動模式有三簇：第一簇是弦的橫振動的固有頻率，這也是音樂上“定音”的模式；其次是縱向振動和面板振動的固有頻率，它們起著豐富音色的作用。面板振動的方程，由于涉及二維四階導(dǎo)數(shù)和混合導(dǎo)數(shù)，是比較難解的，有的資料上采取了機(jī)械阻抗的思維來處理。機(jī)械阻抗的思維實(shí)際上是：面板振動方程作為一個(gè)線性方程，它滿足疊加原理，引進(jìn)虛部構(gòu)造，此時(shí)解關(guān)于時(shí)間的部分永遠(yuǎn)保持e^zt的復(fù)指數(shù)形式；這也就是說，我們可以分頻率考察問題，并且解中蘊(yùn)含的振動模式不會被消滅。機(jī)械阻抗，其實(shí)也就是某個(gè)振動頻率的外力作用與系統(tǒng)，系統(tǒng)的速度函數(shù)與外力函數(shù)之比；在以上的敘述之下，很容易看出如果不解方程而考察機(jī)械阻抗，那么每個(gè)頻率輸入的振動模式都可以用阻抗來算出響應(yīng)的振動模式強(qiáng)弱。需要指出的是：面板各點(diǎn)每時(shí)刻的相位都不同，因此每一點(diǎn)都有不同的機(jī)械阻抗，各種書籍材料上只給一個(gè)，意義上那多是用某種積分去掉了位置參數(shù)。
總之過程匯總到最后就是：算出面板的振動函數(shù)，然后算體腔和聽者的音效。

VST即所謂虛擬樂器，就是用算法來模擬真實(shí)樂器發(fā)出的聲音的。虛擬樂器分兩種，其一是內(nèi)部存放著真實(shí)樂器發(fā)出來的錄音，由錄音來推算模擬的聲音；其二則完全是算法和少量的必要數(shù)據(jù)。很顯然我說的是第二種。
我們的物理模型模擬實(shí)際上計(jì)算速度是很慢的，據(jù)某論文顯示，渲染1s的鋼琴聲要接近30min。VST顯然是做了大量簡化。這一類由算法來模擬聲音的VST，它們的算法也大致分兩類：一類是給出各個(gè)頻率簇的頻率、相對強(qiáng)度和衰減函數(shù)，另一類是作出一個(gè)激發(fā)（例如：一段白噪聲或者鋸齒/三角波），然后不斷的濾波、延遲、混合等等，從而創(chuàng)造最終的波形。第一類算法就是所謂頻譜合成，它的物理依據(jù)就是各個(gè)振動頻率不會被消滅，因此可以列舉，然后通過計(jì)算或者波形數(shù)據(jù)分析或者手工調(diào)整，來指定其他參數(shù)。第二類算法是把整個(gè)樂器和聲波傳播的空間當(dāng)成一個(gè)激發(fā)源和一組線性或者非線性的濾波器，濾波器本身有頻率響應(yīng)，好似面板的機(jī)械阻抗和屋子的聲阻抗一般。顯然這二者都只關(guān)注輸出的波形，也就是物理系統(tǒng)里聽者收到的波形，而復(fù)雜物理系統(tǒng)的細(xì)節(jié)，卻被略去了。雖然常說Karplus-Young合成算法（注：用噪聲作為激發(fā)源，反復(fù)延遲混合和濾波）是一種比較物理的模擬，但也是極其簡化的。
上面提到的三角波，常常被用于電聲樂器的輸入，其原因就在此。三角波包含弦振動的所有泛音以及符合它們的相對強(qiáng)度，在忽略去其他細(xì)節(jié)的情況下，確實(shí)可以拿來制作奇怪的撥弦樂器音效。

之所以VST虛擬樂器們，不求解復(fù)雜的方程組，實(shí)際上是因?yàn)樗鼈兪褂昧撕芎喕姆绞?，并且預(yù)先作了計(jì)算或者數(shù)據(jù)分析。