數(shù)值模擬（或叫做仿真）作為一種研究手段，受到大量研究人員的青睞。應(yīng)用廣泛，大到航空國(guó)防，小到手機(jī)中的電池?zé)峁芾?，眾多鄰域都能?jiàn)到它的身影。既然叫做模擬，那么他就存在誤差，帶來(lái)誤差因素也貫穿于仿真的全過(guò)程。對(duì)于引起這些誤差的因素如果沒(méi)有深刻的理解，很容易得到錯(cuò)誤仿真的結(jié)果，進(jìn)而得出錯(cuò)誤的結(jié)論，那就對(duì)你正在進(jìn)行的研究工作沒(méi)有起到該有價(jià)值，從而就失去了數(shù)值模擬分析的意義。下面將淺析數(shù)值模擬的誤差。

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第一，模擬軟件。數(shù)值模擬本質(zhì)是對(duì)真實(shí)物理解的一種近似，我們仿真大多數(shù)用的都是商用模擬軟件，使用者只需要點(diǎn)點(diǎn)鼠標(biāo)就可以完成一個(gè)仿真任務(wù)，然而殊不知，你每點(diǎn)一下鼠標(biāo)，每輸入一個(gè)參數(shù)，這究竟意為著什么呢？其實(shí)這些仿真軟件，本質(zhì)上都是對(duì)迄今為止最先進(jìn)數(shù)學(xué)、物理等理論模型，通過(guò)算法轉(zhuǎn)化為一串串代碼植入到了軟件中，再通過(guò)可視化技術(shù)，變成了我們眼前看到的操作界面，再配合上植入了各種優(yōu)秀數(shù)值算法的求解器，就可以完成各種仿真任務(wù)求解。那么就迎來(lái)了第一個(gè)誤差，也是最原始的誤差：理論模型誤差，而且這對(duì)數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)這幾乎不能避免。這是因?yàn)?，這些學(xué)者在建立理論模型過(guò)程中，往往都是基于一些基本假設(shè)（例如流體力學(xué)、固體力學(xué)中的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)以及一些理想化假設(shè)如真空、無(wú)阻、完全彈性），但一般在使用過(guò)程中這個(gè)假設(shè)帶來(lái)的誤差可以忽略不計(jì)，但你要是鉆牛角尖的話，誤差還是有的。又如，很多理論模型都是學(xué)者基于特定的物理?xiàng)l件建立的（如CFD分析中的湍流模型，模型中的一些參數(shù)都是在特定的實(shí)驗(yàn)中獲取的，還有一些經(jīng)驗(yàn)參數(shù)），他們并不具有普適性，那么你要是錯(cuò)誤的將該模型應(yīng)用到實(shí)際物理情況相差很大的情況下，勢(shì)必將引起不小的誤差。那么這要如何避免呢？個(gè)人認(rèn)為，各個(gè)理論模型本身的假設(shè)誤差，作為應(yīng)用者來(lái)說(shuō)無(wú)法避免，但是我們要是能對(duì)研究的實(shí)際物理問(wèn)題有深刻的認(rèn)識(shí)，同時(shí)對(duì)可供選擇的理論模型也有深刻的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而選擇最適合我們物理問(wèn)題的理論模型，這樣既避免了導(dǎo)致很大的誤差來(lái)源，同時(shí)還能對(duì)我們的研究工作可以起到事半功倍的效果。數(shù)值算法，上面我們說(shuō)到了求解器，求解器的本質(zhì)就是，我們?cè)O(shè)置完各種邊界條件后，等待求解時(shí)，此時(shí)軟件底層已經(jīng)針對(duì)你的物理問(wèn)題建立好了龐大的代數(shù)方程，求解這些代數(shù)方程，就需要用到求解器，而求解器的作用就是用我們數(shù)值分析中學(xué)到了各種求解代數(shù)方程方法（如Jacobi與Gauss-Seidel迭代法）來(lái)計(jì)算這些方程，那么這個(gè)過(guò)程就會(huì)存在數(shù)值迭代誤差，以及計(jì)算機(jī)在求解過(guò)程中還存在截?cái)嗾`差（舍入誤差），這樣結(jié)果就與方程的精確解有一定的偏差。我們作為仿真軟件的應(yīng)用者，理論模型誤差和數(shù)值算法誤差我們都無(wú)法避免，我們只能針對(duì)不同問(wèn)題選擇合適的模型和合適的求解器，以盡可能大的降低他們帶來(lái)的誤差影響。???

第二，幾何簡(jiǎn)化。對(duì)任何一個(gè)工程問(wèn)題，要進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，我們都會(huì)針對(duì)實(shí)際物理情況對(duì)其進(jìn)行計(jì)算域幾何建模。然而，實(shí)際情況往往都非常復(fù)雜，因?yàn)榧?xì)節(jié)太多。人的直線思維往往會(huì)這樣處理：一比一還原實(shí)際的物理幾何模型，這樣得到的結(jié)果一定真實(shí)準(zhǔn)確，理論上確實(shí)是這樣，但實(shí)際卻很難做到，因?yàn)榻裉鞜o(wú)論是從理論上，還是從仿真軟件的發(fā)展來(lái)講，都還沒(méi)有能力處理好每一個(gè)細(xì)節(jié)，有時(shí)候這些不必要細(xì)節(jié)還會(huì)導(dǎo)致計(jì)算失敗。因此我們計(jì)算前，要對(duì)物理幾何進(jìn)行一些簡(jiǎn)化和省略，常見(jiàn)的簡(jiǎn)化有這些，三維簡(jiǎn)化為二維，軸對(duì)稱幾何簡(jiǎn)化為二人之一，以及忽略掉對(duì)我們結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生影響的幾何特征（這需要工程經(jīng)驗(yàn)），但是注意，如果進(jìn)行了一些不合理的簡(jiǎn)化，容易造成物理問(wèn)題的改變，這樣得到的結(jié)果就不是你原來(lái)想要研究問(wèn)題的結(jié)果了。話說(shuō)回來(lái)，既然簡(jiǎn)化了，當(dāng)然誤差就會(huì)產(chǎn)生了，但是，這是真的誤差嗎？其實(shí)不然，我稱這種誤差為偽誤差，為什么這樣說(shuō)呢，第一，其實(shí)當(dāng)我有了大量仿真經(jīng)驗(yàn)和工程經(jīng)驗(yàn)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候二維簡(jiǎn)化可能得到比三維更準(zhǔn)確地結(jié)果，盡管有時(shí)候我們二維分析多數(shù)是為了減少計(jì)算量才這樣做的。第二，我們進(jìn)行數(shù)值模擬，都是帶著為了得到某種目標(biāo)結(jié)果去的，有些幾何上的簡(jiǎn)化，并不會(huì)對(duì)我們想要得到的結(jié)果產(chǎn)生影響，可以忽略，因此這樣產(chǎn)生的誤差不算是真的誤差，是一種偽誤差。雖然幾何簡(jiǎn)化是必要的，但是不合理的幾何簡(jiǎn)化，就會(huì)產(chǎn)生巨大的誤差，對(duì)于后面要說(shuō)的這些因素中，它帶來(lái)的誤差往往是最大的。針對(duì)這一點(diǎn)，我們通?？梢赃x取幾種簡(jiǎn)化方案（同樣需要豐富的工程經(jīng)驗(yàn)或模仿），與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)比，選取結(jié)果最佳的那個(gè)進(jìn)行進(jìn)一步分析。

第三，網(wǎng)格劃分。劃分網(wǎng)格帶來(lái)的誤差，一般稱為離散誤差。網(wǎng)格質(zhì)量、精度、類型都會(huì)造成離散誤差。這是網(wǎng)格劃分所引起的，本質(zhì)上講，一個(gè)物理問(wèn)題對(duì)應(yīng)的是一組偏微分方程或積分方程（也就是控制方程，例如流體分析中的質(zhì)量、動(dòng)量守恒方程等），求解這些方程的方法就是把對(duì)應(yīng)這個(gè)物理問(wèn)題的偏微分方程，通過(guò)離散方法（有限元、有限差分、有限體積法），在一個(gè)個(gè)單元（網(wǎng)格）節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行離散，從而得到一組代數(shù)方程（也叫離散方程），而所有的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上都有這些代數(shù)方程組，這構(gòu)成了這個(gè)物理問(wèn)題所組成的龐大代數(shù)方程組，再通過(guò)數(shù)值算法就能求解這些代數(shù)方程組。概括來(lái)說(shuō)就是，把連續(xù)域上物理場(chǎng)的量，通過(guò)離散點(diǎn)的物理量的集合代替。所以對(duì)于網(wǎng)格精度，只要我們的網(wǎng)格無(wú)限小，那么要求解的代數(shù)方程組就越多，獲得的解就會(huì)足夠的精確，同時(shí)計(jì)算時(shí)間就會(huì)相應(yīng)的增加，但是我們一般不會(huì)這么做，這會(huì)造成計(jì)算資源的巨大浪費(fèi)。我們一般的解決辦法是會(huì)在未知變量變化很大的地方劃分更多更細(xì)的網(wǎng)格，以捕捉到變量變化梯度。但是到底劃多少網(wǎng)格合適呢？這個(gè)沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，工程上的解決辦法是，進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)解驗(yàn)證，即由粗到細(xì)分別劃分網(wǎng)格，直到結(jié)果之間的變化率小到可以忽略不計(jì)為止，此時(shí)的網(wǎng)格，在保證計(jì)算資源夠用的情況下，就是精度最高，誤差最小的網(wǎng)格。對(duì)于網(wǎng)格類型，總的來(lái)分有結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，二維結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格都由四邊形組成，三維結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格都由六面體組成，視覺(jué)上的表現(xiàn)就是，那種看上去整齊規(guī)范的四邊形或六面體組成的網(wǎng)格就是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，那種沒(méi)有明顯的規(guī)范性網(wǎng)格，就是非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。不過(guò)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，今天非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格被認(rèn)為更有前景，因?yàn)閯澐纸Y(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，是一個(gè)極其消耗體力和時(shí)間的過(guò)程。二維網(wǎng)格一般有，三角形、四邊形，三維有四面體、六面體、棱柱、多面體等，對(duì)于同一物理問(wèn)題，不同的網(wǎng)格類型，計(jì)算結(jié)果往往不同。但是，對(duì)于一般簡(jiǎn)單物理問(wèn)題，在保證網(wǎng)格質(zhì)量相差不大的情況下，這種誤差很小，可以忽略不計(jì)。再來(lái)說(shuō)說(shuō)網(wǎng)格質(zhì)量，一般造成誤差很大的是網(wǎng)格質(zhì)量，太差的網(wǎng)格質(zhì)量會(huì)造成數(shù)值發(fā)散，有時(shí)直接導(dǎo)致計(jì)算失敗，但對(duì)今天的求解器來(lái)說(shuō)，只要質(zhì)量不是太差，求解器對(duì)質(zhì)量不好的網(wǎng)格魯棒性還是很高的，依然能夠完成求解。但是質(zhì)量高的網(wǎng)格，總會(huì)帶來(lái)更精確的結(jié)果，這是毋庸置疑的。網(wǎng)格質(zhì)量又該如何保證呢？對(duì)于網(wǎng)格質(zhì)量一般我們可以參考網(wǎng)格劃分軟件的各種指標(biāo)（如正交比、縱橫比、翹曲率等），但主要還是靠我們的經(jīng)驗(yàn)。對(duì)于不同網(wǎng)格劃分軟件，網(wǎng)格生成技術(shù)也不同，針對(duì)不同的幾何選擇合適網(wǎng)格劃分軟件，可以大大提高我們的效率和減少網(wǎng)格對(duì)研究問(wèn)題造成的影響。網(wǎng)格劃分其實(shí)是一個(gè)系統(tǒng)性課題，很難一兩句話說(shuō)清楚，還需要多動(dòng)手，多學(xué)習(xí)才能更好掌握其中奧秘，從而服務(wù)于我們要研究的問(wèn)題。

第四，邊界條件、初始條件。邊界條件和初始條件是使我們控制方程有確定解的前提。也就是我們?cè)诓僮鬈浖^(guò)程點(diǎn)擊的各種選項(xiàng)和輸入的各種參數(shù)，從而建立起一個(gè)特定物理問(wèn)題的求解模型（例如靜力學(xué)分析中，不同地方加載的各種力和約束，以及像流體力學(xué)分析，進(jìn)出口條件等），這要求我們沒(méi)有打開(kāi)軟件之前就要知道怎么設(shè)置，通常這是由實(shí)際物理?xiàng)l件確定的，有些參數(shù)也需要我們從實(shí)驗(yàn)中獲取。因此，若不能正確的設(shè)置邊界條件就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果，容易產(chǎn)生非物理解，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致求解中斷。當(dāng)然，這一點(diǎn)我們是可以完全避免的，正確認(rèn)識(shí)我們的問(wèn)題，做到還原實(shí)際邊界條件，該獲取的參數(shù)從實(shí)驗(yàn)獲得。

第五，結(jié)果分析。當(dāng)你完成仿真之后，會(huì)得到各種各樣的結(jié)果（他們通過(guò)云圖、折線圖、等值線圖等形式表現(xiàn)出來(lái)），如何正確且有效的利用這些結(jié)果，我們稱之為后處理。是否能夠通過(guò)仿真結(jié)果得出正確的結(jié)論，我稱為分析誤差，其實(shí)我認(rèn)為這也是最難的。因?yàn)橐ㄟ^(guò)這些結(jié)果得出對(duì)我們有指導(dǎo)意義的結(jié)論，對(duì)分析人員來(lái)說(shuō)，不僅需要知道上面我提到的這些，還需要大量的知識(shí)儲(chǔ)備和工程經(jīng)驗(yàn)積累，也就是認(rèn)知水平。例如在靜力學(xué)分析中，在建立好模型之后，沒(méi)有得出仿真結(jié)果之前，你就要對(duì)仿真結(jié)果有一個(gè)預(yù)判，哪些地方可能是應(yīng)力大地方，是否會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中，應(yīng)力大致分布是怎樣，這對(duì)于我們得到仿真結(jié)果之后，對(duì)結(jié)果正確性進(jìn)行判斷非常重要，不然你自己都會(huì)對(duì)你得到的仿真結(jié)果存疑，那么仿真的意義又何在呢。其次，你要是沒(méi)有必要的知識(shí)儲(chǔ)備，還對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析，那你就很難正確的解讀結(jié)果，很容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論，這必然產(chǎn)生誤差。對(duì)于這一點(diǎn)，只有分析人員不斷學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)，積累實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，勤于總結(jié)來(lái)提升我們的內(nèi)功，這也對(duì)于提升我們的研究能力的幫助是具大的。

大家對(duì)于數(shù)值模擬的態(tài)度，容易存在兩種極端，有人說(shuō)數(shù)值模擬不可靠，全是假的，也有人篤信數(shù)值模擬的結(jié)果。但我想說(shuō)的是，對(duì)于任何一個(gè)物理現(xiàn)象都一定存在一個(gè)物理真值，但想獲得它，所消耗的人力、物力、財(cái)力是一般人負(fù)擔(dān)不起的。數(shù)值模擬僅能作為一種研究手段，利用他得到的信息永遠(yuǎn)是有限的，優(yōu)秀的研究，從來(lái)都是要通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析和理論分析等研究手段進(jìn)行相互補(bǔ)充的，這樣我們的研究才有價(jià)值，有意義。