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原文出處：拓端數(shù)據(jù)部落公眾號(hào)

?

主要觀點(diǎn)

巴斯Bass擴(kuò)散模型已成功地用于預(yù)測(cè)各種新推出的產(chǎn)品以及成熟產(chǎn)品的市場(chǎng)份額。

該模型的主要思想來(lái)自兩個(gè)來(lái)源：

1. 消費(fèi)者不受社會(huì)影響的產(chǎn)品意愿。

2. 因?yàn)槠渌艘呀?jīng)采用了該產(chǎn)品，所以傾向于采用該產(chǎn)品。因此，在優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的生命周期中的早期采用者的影響變得足夠強(qiáng)大，以致驅(qū)使許多其他人也采用該產(chǎn)品。

Bass模型顯示了如何使用銷售數(shù)據(jù)的前幾個(gè)時(shí)期的信息來(lái)對(duì)未來(lái)的銷售做出相當(dāng)好的預(yù)測(cè)?？梢院苋菀椎乜闯觯m然該模型來(lái)自營(yíng)銷領(lǐng)域，但它也可以很容易地用于對(duì)現(xiàn)金流量的預(yù)測(cè)進(jìn)行建模以確定初創(chuàng)公司的價(jià)值。

歷史事例

Bass模型的文獻(xiàn)中有一些經(jīng)典的例子。例如，請(qǐng)參見(jiàn)下圖所示的80年代VCR的實(shí)際與預(yù)測(cè)市場(chǎng)增長(zhǎng)情況。

?

?

基本思想

將單個(gè)人從零時(shí)間到時(shí)間tt購(gòu)買產(chǎn)品的累計(jì)概率定義為F（t）。那么，在時(shí)間tt的購(gòu)買概率為密度函數(shù)f（t）= F'（t）。

從目前來(lái)看，在目前沒(méi)有購(gòu)買的情況下，時(shí)間t的購(gòu)買率符合邏輯，即

?

建模就像在給定時(shí)間t建模產(chǎn)品的采用率

微分方程

巴斯建議將此采用率定義為

?

在這里，我們可以將p定義為?采用產(chǎn)品的消費(fèi)者的??獨(dú)立比率，將q定義為模仿率，因?yàn)閝可以??模擬累積采用強(qiáng)度F（t）的影響。

因此，如果我們可以找到某產(chǎn)品的p和q，則可以預(yù)測(cè)其隨著時(shí)間的采用，從而生成銷售的時(shí)間路徑。總結(jié)一下：

• p：創(chuàng)新系數(shù)。

• q：模仿系數(shù)。

求解F（t）的模型

我們重寫方程：

并注意F（0）= 0。

解決方案中的步驟是：

另一種解決方案

一種替代方法（這是學(xué)生Muhammad Sagarwalla根據(jù)Alexey Orlovsky的想法提出的）如下。

?

所以我們寫

?

?

?

我們得到

?

?

?

與公式（*）相同。以前的解決方案是

?

?

求解f（t）

?

?因此，如果目標(biāo)市場(chǎng)的大小為m，則在每個(gè)t處，采用率簡(jiǎn)單地由m×f（t）給出。

例

例如，設(shè)置m = 100,000，p = 0.01和q = 0.2。然后，采用率如下圖所示。

1. f = function(p,q,t) {

2. 


3. p = 0.01

4. q = 0.20

5. plot(t,m*f(p,q,t),type="l",col="blue",l

?

?

?

R中的符號(hào)數(shù)學(xué)

1. #BASS 模型

2. 


3. FF = expression(p*(exp((p+q)*t)-1)/(p*exp((p+q)*t)+q))

4. 


1. ## expression(p * (exp((p + q) * t) - 1)/(p * exp((p + q) * t) +

2. ## ? ? q))

1. #取導(dǎo)數(shù)

2. D(FF,"t")

1. ## p * (exp((p + q) * t) * (p + q))/(p * exp((p + q) * t) + q) -

2. ## ? ? p * (exp((p + q) * t) - 1) * (p * (exp((p + q) * t) * (p +

3. ## ? ? ? ? q)))/(p * exp((p + q) * t) + q)^2

1. #設(shè)置函數(shù)

2. ff = function(p,q,t) {

3. res

1. #評(píng)估

2. plot(t,m*eval(ff(p,q,t)),type="l",col="red",lwd=3)

?

?

iPhone銷售預(yù)測(cè)

例如，讓我們看一下iPhone銷量的趨勢(shì)（我們將季度銷量存儲(chǔ)在一個(gè)文件中并讀入文件，然后進(jìn)行Bass模型分析）。

此計(jì)算的R代碼如下：

1. #使用蘋果iPHONE銷售數(shù)據(jù)

2. data = read.table("tecdat/iphone.txt",header=TRUE)

1. ## ? Quarter Sales_MM_units

2. ## 1 ? Q3_07 ? ? ? ? ? 0.27

3. ## 2 ? Q4_07 ? ? ? ? ? 1.12

4. ## 3 ? Q1_08 ? ? ? ? ? 2.32

5. ## 4 ? Q2_08 ? ? ? ? ? 1.70

6. ## 5 ? Q3_08 ? ? ? ? ? 0.72

7. ## 6 ? Q4_08 ? ? ? ? ? 6.89

print(tail(data))

1. ## ? ?Quarter Sales_MM_units

2. ## 30 ? Q4_14 ? ? ? ? ?39.27

3. ## 31 ? Q1_15 ? ? ? ? ?74.47

4. ## 32 ? Q2_15 ? ? ? ? ?61.17

5. ## 33 ? Q3_15 ? ? ? ? ?47.53

6. ## 34 ? Q4_15 ? ? ? ? ?48.05

7. ## 35 ? Q1_16 ? ? ? ? ?74.78

1. ##

2. ## Call:

3. ## lm(formula = isales ~ cum_isales + cum_isales2)

4. ##

5. ## Residuals:

6. ## ? ? Min ? ? ?1Q ?Median ? ? ?3Q ? ? Max

7. ## -14.050 ?-3.413 ?-1.429 ? 2.905 ?19.987

8. ##

9. ## Coefficients:

10. ## ? ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

11. ## (Intercept) ?3.696e+00 ?2.205e+00 ? 1.676 ? 0.1034

12. ## cum_isales ? 1.130e-01 ?1.677e-02 ? 6.737 1.31e-07 ***

13. ## cum_isales2 -5.508e-05 ?2.110e-05 ?-2.610 ? 0.0136 *

14. ## ---

15. ## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

16. ##

17. ## Residual standard error: 7.844 on 32 degrees of freedom

18. ## Multiple R-squared: ?0.8729, Adjusted R-squared: ?0.865

19. ## F-statistic: 109.9 on 2 and 32 DF, ?p-value: 4.61e-15

b = res$coefficients

1. #擬合模型

2. m1 = (-b[2]+sqrt(b[2]

3. m2 = (-b[2]-sqrt(b[2]^2-4

1. ## cum_isales cum_isales

2. ## ?-32.20691 2083.82202

## [1] 2083.822

1. ## ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Intercept) ? ? ? ? ? cum_isales2

2. ## ? ? ? ? ? ? ? ?"p,q=" "0.00177381124189973" ? "0.114767511363674"

1. ##繪制擬合的模型

2. 
   

3. 
   

4. plot(t,fn_f,type="l"

5. 
   

6. lines(1:n,isales,col="red",lwd=2,lty=2)

?

三星Galaxy手機(jī)銷量

1. #讀取Galaxy銷售數(shù)據(jù)

2. data = read.csv("tecdat/galaxy.csv")

3. 


4. #獲取系數(shù)

5. 


6. res = lm(isales ~ cum_isales+cum_isales2)

7. print(summary(res))

2. ## Residuals:

3. ## ? ? ?Min ? ? ? 1Q ? Median ? ? ? 3Q ? ? ?Max

4. ## -11.1239 ?-6.1774 ? 0.4633 ? 5.0862 ?13.2662

5. ##

6. ## Coefficients:

7. ## ? ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

8. ## (Intercept) ?5.375e+01 ?4.506e+00 ?11.928 2.87e-10 ***

9. ## cum_isales ? 7.660e-02 ?1.068e-02 ? 7.173 8.15e-07 ***

10. ## cum_isales2 -2.806e-05 ?5.074e-06 ?-5.530 2.47e-05 ***

11. ## ---

12. ## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

13. ##

14. ## Residual standard error: 7.327 on 19 degrees of freedom

15. ## Multiple R-squared: ?0.8206, Adjusted R-squared: ?0.8017

16. ## F-statistic: 43.44 on 2 and 19 DF, ?p-value: 8.167e-08

1. b = res$coefficients

2. 
   

3. #擬合模型

4. 
   

5. m1 = (-b[2]+sqrt(b[2]^2-4*

6. m2 = (-b[2]-sqrt(b[2]^

7. print(c(m1,m2))

1. ## cum_isales cum_isales

2. ## ?-578.9157 ?3308.9652

## [1] 3308.965

1. ## ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Intercept) ? ? ? ? ?cum_isales2

2. ## ? ? ? ? ? ? ? "p,q=" "0.0162432614649845" "0.0928432001791269"

1. #繪制擬合模型

2. nqtrs = 100

3. t=seq(0

4. 
   

5. plot(t,fn_f,type="l"

6. 
   

7. lines(1:n,isales,col="red",lwd=2,lty=2)

?

?

全球半導(dǎo)體銷量

1. #讀取半導(dǎo)體銷售數(shù)據(jù)

2. data = read.csv("tecdat/semi.csv")

3. 


4. #獲取系數(shù)

5. isales = d

6. 


7. res = lm(isales ~ cum_isales+cum_isales2)

2. ## Residuals:

3. ## ? ? Min ? ? ?1Q ?Median ? ? ?3Q ? ? Max

4. ## -42.359 -12.415 ? 0.698 ?12.963 ?45.489

5. ##

6. ## Coefficients:

7. ## ? ? ? ? ? ? ? Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

8. ## (Intercept) ?5.086e+01 ?8.627e+00 ? 5.896 3.76e-06 ***

9. ## cum_isales ? 9.004e-02 ?9.601e-03 ? 9.378 1.15e-09 ***

10. ## cum_isales2 -6.878e-06 ?1.988e-06 ?-3.459 ?0.00196 **

11. ## ---

12. ## Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

13. ##

14. ## Residual standard error: 21.46 on 25 degrees of freedom

15. ## Multiple R-squared: ?0.9515, Adjusted R-squared: ?0.9476

16. ## F-statistic: 245.3 on 2 and 25 DF, ?p-value: < 2.2e-16

1. 
   

2. 
   

3. #擬合模型

4. m1 = (-b[2]+sqrt(b[2]^2

5. m2 = (-b[2]-sqrt(b[

6. print(c(m1,m2))

1. ## cum_isales cum_isales

2. ## ?-542.4036 13633.3003

## [1] 13633.3

1. ## ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (Intercept) ? ? ? ? ? cum_isales2

2. ## ? ? ? ? ? ? ? ?"p,q=" "0.00373048366213552" ?"0.0937656034785294"

1. #繪制擬合的模型

2. 
   

3. plot(t,fn_f,type="l",

4. 
   

5. lines(1:n,isales,col="red"

?

顯示數(shù)據(jù)框：

print(df)

1. ## ? ? ? t ? V2 ? ? ? fn_f

2. ## 1 ? ? 0 1988 ?50.858804

3. ## 2 ? ? 1 1989 ?55.630291

4. ## 3 ? ? 2 1990 ?60.802858

5. ## 4 ? ? 3 1991 ?66.400785

6. ## 5 ? ? 4 1992 ?72.447856

7. ## 6 ? ? 5 1993 ?78.966853

8. ## 7 ? ? 6 1994 ?85.978951

9. ## 8 ? ? 7 1995 ?93.503005

10. ## 9 ? ? 8 1996 101.554731

11. ## 10 ? ?9 1997 110.145765

12. ## 11 ? 10 1998 119.282622

13. ## 12 ? 11 1999 128.965545

14. ## 13 ? 12 2000 139.187272

?

權(quán)衡p vs q

在Bass模型中，如果模仿系數(shù)相對(duì)于創(chuàng)新系數(shù)增加，那么以下哪一項(xiàng)是最有效的？

1. 產(chǎn)品生命周期的高峰發(fā)生在稍后。

2. 產(chǎn)品生命周期的高峰出現(xiàn)得更快。

3. 兩個(gè)生命周期高峰的機(jī)會(huì)可能會(huì)增加。

4. 高峰可能遲早會(huì)出現(xiàn)，具體取決于創(chuàng)新系數(shù)。

使用高峰時(shí)間公式，用x = q / p代替：

x的微分：

從Bass模型中，我們知道q> p> 0，即x> 1，否則我們可以在0≤F<1區(qū)域獲得負(fù)的接受度或形狀，而沒(méi)有最大值。因此，?t? /?x的符號(hào)與：

?

但是這個(gè)非線性方程

根x≈3.59

換句話說(shuō)，當(dāng)x> 3.59時(shí)，導(dǎo)數(shù)?t? /?x為負(fù)，而當(dāng)x <3.59時(shí)為正。對(duì)于x = q / p的低值，模仿系數(shù)q的增加會(huì)增加達(dá)到銷售高峰的時(shí)間，而對(duì)于q / p的高值，時(shí)間會(huì)隨著q的增加而減少。因此，該問(wèn)題的正確答案似乎是“它取決于p和q的值”。

1. t = seq(0,5,

2. .1)

3. p = 0.1;

4. 


5. lines(t,f(p,q,t),type="l",col="red",lwd=2)

?

在圖中，當(dāng)x變小時(shí)，峰值更早。

最受歡迎的見(jiàn)解

1.在python中使用lstm和pytorch進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)

2.python中利用長(zhǎng)短期記憶模型lstm進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)分析

3.使用r語(yǔ)言進(jìn)行時(shí)間序列（arima，指數(shù)平滑）分析

4.r語(yǔ)言多元copula-garch-模型時(shí)間序列預(yù)測(cè)

5.r語(yǔ)言copulas和金融時(shí)間序列案例

6.使用r語(yǔ)言隨機(jī)波動(dòng)模型sv處理時(shí)間序列中的隨機(jī)波動(dòng)

7.r語(yǔ)言時(shí)間序列tar閾值自回歸模型

8.r語(yǔ)言k-shape時(shí)間序列聚類方法對(duì)股票價(jià)格時(shí)間序列聚類

9.python3用arima模型進(jìn)行時(shí)間序列預(yù)測(cè)

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