大家好，我是12天前開(kāi)始從零基礎(chǔ)學(xué)經(jīng)濟(jì)的老碧，學(xué)得挺慢，但感覺(jué)還是挺有意思的。

我們之前聊到，“消費(fèi)集”是一個(gè)n維向量組成的集合，其中向量的每一個(gè)分量都是我們對(duì)一個(gè)物品的計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)量，也就是說(shuō)，我們把我們n件物品的購(gòu)買(mǎi)量按一定順序一一排列出來(lái)，就構(gòu)成了“消費(fèi)集”中的一個(gè)元素——一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃。

比方說(shuō)，我們打算買(mǎi)3個(gè)梳子，3只鴨子，5個(gè)盆，那么這個(gè)消費(fèi)計(jì)劃對(duì)應(yīng)的向量就是（3,3,5）。

消費(fèi)集是一種很簡(jiǎn)單地羅列消費(fèi)計(jì)劃的數(shù)學(xué)模型。

但是我們?cè)谘芯恳恍﹩?wèn)題的時(shí)候，僅僅羅列消費(fèi)集中的元素是不足夠的，我們更需要了解其中元素之間的種種關(guān)系，比如說(shuō)，我們給定了一個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，我們比較兩個(gè)消費(fèi)計(jì)劃在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中哪個(gè)更好，那么就涉及到了消費(fèi)計(jì)劃的比較，于是就產(chǎn)生了另外兩個(gè)數(shù)學(xué)模型——“偏好關(guān)系”和“效用函數(shù)”。

“偏好關(guān)系”相當(dāng)于在“消費(fèi)集”中定義了一個(gè)單調(diào)全序集，對(duì)應(yīng)“偏好關(guān)系”的重要工具就是“無(wú)差異曲線”。

“效用函數(shù)”相當(dāng)于用函數(shù)將n維向量轉(zhuǎn)化為數(shù)量，上一期我們介紹了這個(gè)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)越性：

“Q1：為什么要有了以n元向量為元素的消費(fèi)集，還要定義效用函數(shù)？

A1：請(qǐng)問(wèn)，n元向量比較大小更容易，還是數(shù)字比較大小更容易？——老碧這個(gè)裝逼怪，咿呀咿呀喲！

對(duì)于n元向量是沒(méi)有直接的比較大小的方式的，除非我們?cè)俣x一個(gè)關(guān)于向量的序（定義大于）在里面，那就太麻煩了，即”偏好關(guān)系“，如果覺(jué)得那個(gè)很簡(jiǎn)單親和的大神，我投降好了吧！

如果轉(zhuǎn)化為一個(gè)單調(diào)函數(shù)，那么向量集中元素的大小關(guān)系，就可以直接轉(zhuǎn)化成最最基礎(chǔ)的數(shù)值比較，是一種提高運(yùn)算效率和簡(jiǎn)潔度的轉(zhuǎn)化方式。

思考：所謂的函數(shù)，初等認(rèn)知會(huì)認(rèn)為是一種描述變化的方式，然而更抽象的方式，可以看作一種轉(zhuǎn)化。而利用一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，去做一些轉(zhuǎn)化，就可以降低許多思維上的復(fù)雜度。

Q2：邊際效用究竟是什么？

A2：我們知道，”消費(fèi)集“的成員是n元向量，每一個(gè)向量的坐標(biāo)又是每件商品的計(jì)劃消費(fèi)量。效用函數(shù)則是利用函數(shù)把復(fù)雜的n元向量比較的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)值比較問(wèn)題。弊端就是，原本一眼可以看到的計(jì)劃消費(fèi)量，無(wú)法從這個(gè)數(shù)值上看出來(lái)。為了解決這個(gè)問(wèn)題——了解一件商品對(duì)一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的貢獻(xiàn)大小——我們引入了”偏導(dǎo)數(shù)“這個(gè)工具。

”偏導(dǎo)數(shù)“的算法很簡(jiǎn)單——n件商品就是向量中n個(gè)坐標(biāo)，也可以理解成這個(gè)函數(shù)的自變量有n個(gè)，我們單獨(dú)求函數(shù)對(duì)其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，所以要做的就是假如我們求關(guān)于x1的”偏導(dǎo)數(shù)“，就要把x2，……，xn都當(dāng)作常數(shù)，按照一元函數(shù)求導(dǎo)的方式計(jì)算就好了。

所謂的邊際效用，就是一件商品對(duì)整個(gè)消費(fèi)計(jì)劃的貢獻(xiàn)值——即影響大小。

思考：在做幾個(gè)因素共同影響的事件的實(shí)驗(yàn)分析中，我們都可以引入”偏導(dǎo)數(shù)“的模型，來(lái)研究其中一個(gè)因素對(duì)該事件的影響?！?/p>

這次我們來(lái)解釋在“效用函數(shù)”部分，最后一個(gè)概念的含義。

Q3：邊際替代率是什么意思？

A3：我們先看一下“邊際替代率”在書(shū)上的定義過(guò)程——

我們發(fā)現(xiàn)在求“邊際替代率”的時(shí)候，涉及到了三步數(shù)學(xué)知識(shí)：

1. 把其中一種物品的購(gòu)買(mǎi)量表示成另外一件物品購(gòu)買(mǎi)量的函數(shù)f（x）；——暗示了，這是要研究?jī)蓚€(gè)物品購(gòu)買(mǎi)量的關(guān)系；

2. 由無(wú)差異曲線的定義列出一個(gè)方程，而后左右求導(dǎo)，得到了一個(gè)簡(jiǎn)單的偏微分方程；——暗示了，這個(gè)定義和“邊際效用”有關(guān)；

3. 最后解偏微分方程，解出了f（x）的導(dǎo)數(shù)——f‘（x）；——發(fā)現(xiàn)是兩個(gè)物品“邊際效用”的比值的相反數(shù)。

于是由數(shù)學(xué)的過(guò)程我們了解到，“邊際替代率”是研究?jī)蓚€(gè)物品購(gòu)買(mǎi)量的關(guān)系的，而這個(gè)關(guān)系，應(yīng)該至少有兩個(gè)作用：

1. 了解兩個(gè)物品在一種標(biāo)準(zhǔn)下，哪一個(gè)更好；

2. 了解如何調(diào)整兩個(gè)物品的購(gòu)買(mǎi)量，得到一個(gè)等效替代的購(gòu)買(mǎi)計(jì)劃。

思考：在研究多變量影響的事物中，我們可以引入類(lèi)似“邊際替代率”的數(shù)學(xué)模型來(lái)評(píng)價(jià)各個(gè)變量的權(quán)重，比如，我們知道運(yùn)動(dòng)和睡眠都可以影響學(xué)習(xí)效率，我們可以利用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，來(lái)計(jì)算如何分配運(yùn)動(dòng)和睡眠，能夠最大效率的利用時(shí)間。

今天就先說(shuō)到這里！