1.2 規(guī)范理論的歷史回顧

在二十世紀六十年代，基本粒子物理似乎陷入困頓的絕境中了。弱、電磁、強和引力彼此分開進行研究，將彼此拉開了非常遠的距離。此外，對各種力的研究已經(jīng)碰到了一塊基本的路障：

（1）弱相互作用。（The weak interactions.）弱相互作用的理論模型已經(jīng)尷尬地在三十年前的二十世紀三十年代費米（Fermi）理論首次提出后有了小小的進展：

Γ上標A代表了狄拉克（Dirac）矩陣多樣的組合。接下來的主要步驟，一個W玻色子的理論，因為無窮的問題而相當令人苦惱。還有，沒有人知道輕子背后的對稱，或者不知道是否會有這種對稱。

（2）強相互作用。（The strong interactions.）與弱相互作用相比，湯川（Yukawa）介子理論給出了一個強相互作用的可重整化理論：

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然而，湯川理論不能解釋在粒子加速器中“基本”粒子雪崩式的發(fā)現(xiàn)。尤利烏斯·羅伯特·奧本海默（J.Robot Oppenheimer）甚至建議那一年的諾貝爾物理獎不應該頒發(fā)給沒有（didn't）發(fā)現(xiàn)新粒子的物理學家。此外，夸克模型——似乎與數(shù)據(jù)吻合得比它能做到的還要好，也很惘然于夸克從沒在實驗中被觀測到的事實。

（3）引力。（The gravitational force.）引力的研究完全和其它作用力分開了。經(jīng)典相對論家持續(xù)著孤立地在粒子研究中尋找更多經(jīng)典解決方案。教條式量子化該理論的嘗試被該理論巨量贅余的出現(xiàn)給搞迷糊了。人們還沮喪地認識到即使該理論可以成功量子化，它也不是可重整化的。

這片荒涼的景象在二十世紀七十年代規(guī)范革命的到來中產(chǎn)生了戲劇性變化。自旋1規(guī)范粒子的完全可重整化理論的發(fā)展成為了過去25年的偉大成就之一，這樣物理學家們終于可以第一次計算真正的S矩陣元素了。因此，對麥克斯韋在十九世紀六十年代首次提出的最初的規(guī)范理論的超越花了100多年?。▍⒁姼戒浬蠈σ?guī)范理論和群論的基本介紹。）

顯然消除相對論量子力學的發(fā)散的關鍵在于尋求更大更精密的規(guī)范群。對稱現(xiàn)在成為粒子模型最重要的特征，而不是純粹藝術(shù)上的特征。

例如麥克斯韋方程組第一次統(tǒng)一電與磁力使用的是U(1)的規(guī)范群。弱力和電磁力的弱電統(tǒng)一需要SU(2)?U(1)。使夸克粘合在一起成為強子的力，或量子色動力（QCD）基于SU(3)。所有基本粒子物理實際上和SU(3)?SU(2)?U(1)最小化理論是一致的。

盡管大統(tǒng)一理論還沒有能統(tǒng)一弱力和強力的定論，它的統(tǒng)一主題也同樣也是規(guī)范理論，使用了諸如SU(5)、O(10)等對稱。

盡管規(guī)范革命可能是幾十年來最重要的進展之一，也還不夠?？茖W家們逐漸意識到楊-米爾斯理論自身不能推進我們超過現(xiàn)在水平的物理宇宙的理解。大統(tǒng)一理論不僅無法解釋重要的物理現(xiàn)象，在闡述量子引力理論方面也有非常大的問題。

大統(tǒng)一理論首先不能成為所有力統(tǒng)一的最后一個詞句。有一些大統(tǒng)一理論仍然沒有解決的點：

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（1）大統(tǒng)一理論不能解決為什么有三種幾乎相同的基本粒子家族。我們?nèi)匀粺o法回答拉比（Rabi）的問題：“誰創(chuàng)造了μ子？”

（2）大統(tǒng)一理論仍然有20個左右的任意參數(shù)。這些參數(shù)，比如說，不能計算夸克的質(zhì)量或是多樣湯川耦合。一個真正的統(tǒng)一理論應該只有至多一個任意參數(shù)。

（3）大統(tǒng)一理論對解決分級問題有困難。除非使用超對稱，否則很難阻止大量粒子物理與宏觀能量搞混并破壞其層次結(jié)構(gòu)。

（4）粒子力在大約10^-28厘米的地方統(tǒng)一，很接近10^-33厘米普朗克（Planck）長度，我們猜測在這里引力的效果會占支配地位。但是大統(tǒng)一理論沒有提到任何有關引力的東西。

（5）至今，質(zhì)子衰變還沒確定被觀測到，這已經(jīng)排除了SU(5)的最小化。因此，還沒有令人信服的實驗證據(jù)來推廣此理論。

（6）要我們相信當今的能量和統(tǒng)一量度中沒有新作用力是很難的?！盎哪焙芸赡軙谖粗伦饔昧χ袊姲l(fā)。

從根本上來講，這些問題中最復雜也是最有挑戰(zhàn)性的是尋找到一條量子化愛因斯坦廣義相對論的道路。盡管楊-米爾斯理論已經(jīng)取得了統(tǒng)一已知粒子物理定律的巨大成功，但是引力定律在底層上特別不一樣。顯然，楊-米爾斯理論和傳統(tǒng)規(guī)范理論處理此問題時無能為力。因此，大統(tǒng)一理論當被推及他們的極限時便面臨著可怕的實驗性和理論性問題。

廣義相對論在推及它的極限時也被相似的困難所困擾：

（1）傳統(tǒng)上，我們已經(jīng)確定愛因斯坦方程必然表現(xiàn)出點狀奇點，在這里我們推測廣義相對論的定律會崩塌。在此領域量子修正必須奪去經(jīng)典理論的寶座。

（2）作用量并非從下約束的，因為在曲率張量中它是線性的。因此，量子力學上的作用量可能是不穩(wěn)定的。

（3）廣義相對論不可重整化。譬如計算機計算確定顯示在雙環(huán)水平上愛因斯坦理論里有一個非零的抵消項。

量子化愛因斯坦重力理論的天真嘗試已經(jīng)遭遇了令人沮喪的失敗。第一個首先指出廣義相對論和量子力學不兼容的人是海森堡，他指出一個量綱耦合常數(shù)的出現(xiàn)會毀滅正常的重整化進程。

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如果我們設：

這里甚至還留下一個牛頓引力理論上的量綱常數(shù)——引力常數(shù)G：

該常數(shù)有厘米平方的量綱。當我們用度規(guī)η下標μν=（- + + +）把度規(guī)張量g下標μν圍繞平方冪展開，我們就引入了耦合常數(shù)κ，該常數(shù)有厘米的量綱：

因此

在此單位系統(tǒng)中，唯一的單位是厘米，該耦合常數(shù)κ變成了普朗克長度——10^-33厘米或者10^19千兆電子伏特，那遠遠超出了實驗所及的程度!

然而重整化理論是在我們可以用一個對無限再定義某些常數(shù)消除所有發(fā)散的基礎前提上建立的。有一個負的量綱耦合常數(shù)意味著這種圖像復雜的洗牌和恢復是不可能的。負的耦合常數(shù)意味著我們一直都可以在費曼圖中插入一個作用形式并增強它的發(fā)散冪級數(shù)。這代表著任何一張圖都可以通過大量插入做到任意的發(fā)散。這意味著廣義相對論不會是一個可重整化的理論。（This means that general relativity cannot be a renormalizable theory.）例如引力子-引力子散射的振幅現(xiàn)在就變成了一個單量綱參數(shù)的冪展開（參見圖1.3）：

這樣我們再也不能用通常的方式給圖洗牌來消除無窮了，這本該是重整化理論的心臟。因此，重整化理論破產(chǎn)。

因為廣義相對論距離重整化理論管的地方太遠了，所以我們必須重新考慮狄拉克根本的反對意見。狄拉克說量子力學的成功是基于在其中各種修正項都越來越小的近似方案。但是重整化理論因為其觸犯該原則、修改無窮量并在最后消去了它們，而是殘缺的。

一個解決方案是建立一個對于耦合常數(shù)中的每個都是有限的引力理論，這樣就再也不需要重整化理論了。有一段時間，大有希望的是超重力，它是基于局部規(guī)范

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群Osp(N/4)（參見附錄），這個群是愛因斯坦方程在60年間第一個非平凡延展。希望就是該規(guī)范群可能給我們一套足夠大的沃德-高橋（Ward-Takahashi）恒等式消除一大批發(fā)散圖像。規(guī)范群越大，惡心人的無窮越能夠消除。（參見圖1.4）：

正在努力實現(xiàn)的基本對策是：

規(guī)范對稱→沃德-高橋恒等式

→圖像的消去→重整化理論。

比如說，愛因斯坦的引力理論都要在單環(huán)水平上顯示出平凡的有限。有一個出彩的等式叫做高斯-波內(nèi)特（Gauss-Bonnet）恒等式，它直接展示所有廣義相對論的單環(huán)圖（這可能要一臺計算機才能畫下來）的總和是零。實際上，超高斯-波內(nèi)特恒等式消除了超引力諸多的發(fā)散，但很可能不足以讓理論有限化。

最大號也是最有戲的超引力，O(8)超引力很可能是發(fā)散的。不幸的是，我們有可能在第七環(huán)水平上寫出局部超對稱抵消項。如果不引入一個更大號的對稱，那要全部消除該項系數(shù)和可能是其他抵消項的無窮大數(shù)是很不可能的了。這令人

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沮喪，因為這意味著最大號超引力理論的規(guī)范群Osp(8/4)對消除廣義相對論發(fā)散來說還是太小了。

以及，O(8)規(guī)范群要容納SU(3)?SU(2)?U(1)最小化粒子物理也還是太小了。如果我們采用比O(8)還要大的群，我們就會發(fā)現(xiàn)我們必須將越來越高的自旋數(shù)塞進該理論中。然而，自旋數(shù)為3的相互作用理論很可能不存在，這讓我們懷疑O(8)就是一個限制超引力理論的群。

總之，超引力有這兩個根本原因必須被剔除了：

（1）它很可能不是有限理論，因為規(guī)范群的大小不足以消除所有可能的超對稱抵消項。因此在第七環(huán)的水平上有一個可能得無窮大抵消項。

（2）它的規(guī)范群O(8)還沒大到可以容納粒子物理的最小化對稱，也就是SU(3)?SU(2)?U(1)，它也不能容納手性費米子。

物理學家們面對這些以及其它的障礙有好幾年了，他們總結(jié)出也許我們所認定的宇宙假設必須有一個或者幾個需要拋棄掉，因為廣義相對論和量子力學可能是從一個小公設上發(fā)生分歧，這些公設中的一個或者幾個必定是錯誤的。關鍵是必須丟棄我們用以建立廣義相對論和量子力學的自然常理中的一個。多年來，為了拋棄我們有關宇宙的部分常識概念，已經(jīng)有了幾個建議：

（1）連續(xù)性

這一方法假設時空必須是粒狀的。這些粒子的尺寸可能得到費曼圖的自然中斷，允許

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我們得出有限S矩陣。像是

這樣的積分會像ε^-n一樣發(fā)散，但我們永遠不會在ε為零時接受這個極限。格引力理論就是這一類。比如在雷格（Regge）運算中，我們用離散的四個單形格化雷曼空間，并用沿單形畫圈圈時計算的角虧損來代替曲率張量：

（平滑空間上，圍繞閉合路徑?jīng)]有角虧損，這個作用量就跌落了。）通常來講，在格的理論中，我們當格長取零時取極限。但是這里我們把它固定成一個小量。然而現(xiàn)在，沒有實驗證據(jù)表明時空是粒狀的。盡管我們永遠不能剔除這一方法的猜想，這似乎違背了粒子物理學的自然發(fā)展規(guī)律，而規(guī)律已經(jīng)是以更大號和更優(yōu)雅的群為公設。

（2）因果律

這一方法允許我們小小地違背因果律。包含李-維克（Lee-Wick）力學的理論事實上是可重整化的，但是允許在因果律上有小偏差。這些理論通過虛構(gòu)質(zhì)量M的泡利-維拉斯（Pauli-Villars）場來改變傳播子的紫外行為使得費曼圖收斂。通常在紫外極限下，費曼傳播子收斂為p^-2。然而在添加一個虛構(gòu)粒子后，我們甚至可以讓傳播子收斂得更快，像是p^-4：

注意到泡利-維拉斯場是鬼場，因為傳播子中出現(xiàn)了-1（這代表該理論會充滿負的概率）。通常我們讓泡利-維拉斯場的質(zhì)量趨于無窮。然而這里我們讓它變成有限值，讓這一極伸到非物理的薄板上。然而對結(jié)果費曼圖的結(jié)構(gòu)的考察表明，因果律被違反了；也就是說你可以看見你出生前的父母。

（3）統(tǒng)一性

我們可以替換愛因斯坦的理論，該理論是基于曲率張量的，就用一個基于外爾（Weyl）張量的共形理論來代替：

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當外爾張量定義為

這里的括號代表反對稱化。該共形張量擁有比曲率張量更大的對稱群，也就是，局部共形變換背后的不變性：

外爾理論是收斂的，因為傳播子是p^-4，即它是個高度可微的理論。然而因為上面說的原因，有一個“統(tǒng)一幽靈”也在傳播子中與a-1一起出現(xiàn)。最樂觀的設想是叫一個類似于夸克禁閉的力學讓這些統(tǒng)一幽靈“關禁閉”。

（4）局部性

多少年來也有了主張丟掉量子力學一些重要假設，比如局部性的建議。畢竟，沒有保障說量子力學的定律能在10^-33厘米處還成立。然而物理學家每每試圖去偏離量子力學的定律如因果律時，都總會出一些問題?，F(xiàn)在還沒有成功的量子力學替代品。

（5）點粒子

最后是超弦一派，它拋棄了理想化點粒子的概念，這個概念是希臘人在2000年前提出的。

超弦理論因其只丟掉了物質(zhì)的基本成分必須是點粒子的假設，也就對我們持守的物理原則破壞得最少，并延續(xù)增加規(guī)范群復雜性和精密性的傳統(tǒng)。超弦理論并不違反量子力學的任何定律，但做到消除大部分——如果不是全部，費曼圖的發(fā)散。超弦模型的對稱群是物理史上見過的最大群，很可能足夠大到讓理論在任何情況下都是有限的。再說一遍，它的對稱性，而不是量子力學的崩潰，是使理論有限的根本關鍵。

在圖1.5中我們戲劇性地看到不同引力理論的演變。首先是牛頓（Newton）理論里的超距作用，這里引力作用跑得比光還快，愛因斯坦用曲面流形的經(jīng)典演繹替代了它，量子引力相應地通過增加環(huán)給愛因斯坦的理論做量子修正，最后超弦理論通過加和所有可能的作用弦拓撲構(gòu)造對點粒子量子理論做出進一步修正。

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然而超弦理論和它的歷史發(fā)展中的前輩相當不同。不像是其他物理理論，超弦理論擁有或許是科學史上最奇怪的歷史之一的歷史，這段歷史有著比過山車還多的彎彎。

首先，兩位年輕科學家威尼斯諾和鈴木在他們翻閱一本數(shù)學書并驚奇地注意到歐拉貝塔函數(shù)滿足S矩陣強子作用的所有假設（除了統(tǒng)一性）時獨立發(fā)現(xiàn)了它的量子理論。內(nèi)弗（Neveu）、施瓦茨（Schwarz）和雷蒙德（Ramond）很快就將理論推廣到包括自旋粒子的領域。為了解決統(tǒng)一的問題，吉川（Kikkawa）、鈴木和維拉索羅（Virasoro）提出歐拉貝塔函數(shù)應該看作是一個微擾級數(shù)的玻恩（Born）項。最后，加來、郁（Yu）、洛夫萊斯（Lovelace）和亞歷山德里尼（Alessandrini）通過計算玻色子的多換圖完成量子理論了。然而該理論仍然完全是以在殼S矩陣振幅的形式闡述的。

隨后，南部（Nambu）和后藤（Goto）意識到潛伏在這些散射振幅后面的是一個經(jīng)典的相對論弦。霎時他們就通過揭露理論背后統(tǒng)一和經(jīng)典的圖像改良了整個理論。經(jīng)典理論和量子理論的關系很快就由戈德斯通（Goldstone）、戈達德（Goddard）、雷比（Rebbi）和索恩（Thorn）建立起來并由曼德爾施塔姆（Mandelstam）推廣。但是該理論仍然是作為

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半經(jīng)典量子化被闡述的，從而必須臨時假定量度、頂點、圖像數(shù)目等東西并且不能從半經(jīng)典原則中演繹出來。

加來和吉川最后寫出了作用量（在特殊的規(guī)范中），最后，這個模型可以嚴格地以物理變量的形式從一個作用量中推出，盡管作用量沒有剩下任何對稱了。然而，當發(fā)現(xiàn)該理論只在10維和26維有定義時，該模型很快就死亡了。此外，作為強子作用的理論，量子色動力學的飛快發(fā)展似乎給超弦的棺材板釘上最后一根釘子了。

十年來，因為沒有人相信一個10或26維的理論和四維物理間有什么關系，所以這個模型一直半死不活。當舍爾克（Scherk）和施瓦茨做出了該對偶模型實際上是一個所有位置作用力的模型的駭人猜想時，沒人把它當回事。這個想法像鉛氣球一樣落下了。

1984年格林（Green）和施瓦茨發(fā)現(xiàn)超弦理論沒有任何異常而且很可能在微擾理論中對任何情況都是有限的，他們便復活了這個理論。E8?E8高斯、哈維（Harvey）、馬丁內(nèi)茨（Martinec）和羅姆（Rohm）“雜化弦”被認為是統(tǒng)一引力和粒子作用物理合理模型的最佳候選。

現(xiàn)在有個很火的的研究領域是完成該理論的演化，發(fā)現(xiàn)為什么模型中有這么多“奇跡”。已經(jīng)有了一系列朝向使用中間10年發(fā)現(xiàn)的方法給出協(xié)變作用量的活動，比如BRST。

最后，二十世紀九十年代初對對偶集中的研究，特別是1995年威滕（Witten）和湯森德（Townsend）的工作，確立了M理論作為弦理論最新、最高等的闡述?，F(xiàn)在這五種超弦理論可以在11維上統(tǒng)一為一個單一的理論，也許是在膜的層面上。此外，低維中對偶關系的巨大網(wǎng)絡為我們提供了探索弦理論非微擾解的“路線圖”。然而，我們?nèi)鄙俚倪€是理論最終依托的幾何。理解了這種幾何結(jié)構(gòu)，我們就可以把整個理論表述成一個簡單、連貫的方程。這樣就可以完成這一理論的演化，而在過去的30年該理論一直在逆向演化。

量子理論→經(jīng)典理論→作用量→幾何

讓我們總結(jié)一些超弦理論有望成功的正面特征：

（1）規(guī)范群包含比SU(3)?SU(2)?U(1)最小化群大得多的E8?E8。該理論有足夠的空間來容納現(xiàn)象。

（2）該理論沒有異常。這些量子場論小但是重要的缺陷對諸多自洽理論類型

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給出限制。超弦理論的對稱性通過一系列的“奇跡”消滅它所有可能的異常。

（3）黎曼曲面理論的有力論證表明該理論是在任何微擾理論中都有限的。（盡管缺乏嚴格證明）

（4）有很少的自由性。眾所周知，要在不破壞其神奇特性的情況下修補超弦模型是非常困難的。因此，我們不存在19個任意常數(shù)的問題。

（5）該理論包含大統(tǒng)一理論、超楊-米爾斯理論、超引力理論和卡魯扎-克萊因（Kaluza-Klein）理論等子集。因此，為這些理論化發(fā)展起來的現(xiàn)象學的許多特征延續(xù)到弦理論中。

粗略地說，超弦理論將各種力和粒子結(jié)合起來，就像小提琴弦提供了音樂音調(diào)的統(tǒng)一描述一樣。就其本身而言，音符A、B、C等并不是最根本的。然而，小提琴的琴弦是基本音；一個物理對象可以解釋音符的多樣性甚至是我們可以從中構(gòu)建的和聲。同樣的，超弦提供對基本粒子和力的統(tǒng)一描述。事實上，超弦創(chuàng)造的“音樂”就是自然界的力和粒子。

雖然超弦理論由于其一套龐大得令人難以置信的對稱而“奇跡般地”消除異常和發(fā)散，但我們也必須一碗水端平，指出它的不足之處。為了公平起見，我們還必須列出該理論的潛在問題，這些問題已經(jīng)被模型的批評者指出來了：

（1）在實驗中不可能達到在普朗克尺度上發(fā)掘的巨大能量，因此該理論在某種意義上是不能檢驗的。一個不能檢驗的理論也是不能被接受的物理理論。

（2）還沒有發(fā)現(xiàn)一絲實驗證據(jù)確定超對稱的存在，更別說超弦了。

（3）假設在100到10^19千兆電子伏特之間的“荒漠”中不會出點差池也太放肆了。當我們增加加速器的能量量度時，總是會出現(xiàn)全新的、完全出乎意料的現(xiàn)象。然而超弦理論預測了接下來的17個數(shù)量級，這在科學史上聞所未聞。

（4）該理論沒有解釋宇宙常數(shù)為什么為零。任何聲稱自己是“萬有理論”的理論肯定都要解釋消失的宇宙常數(shù)之謎，但超弦該如何解決這個問題目前還不清楚。

（5）這個理論的豐富性也很尷尬。顯然有數(shù)百萬種方法可以把這個理論分解成低能狀態(tài)，那么哪個才是真真空？雖然超弦理論可以得出SU(3)?SU(2)?U(1)最小化理論，但它也預測了許多其它尚未被發(fā)現(xiàn)的相互作用。

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（6）沒有人真的知道如何把一個10維理論分解成四維。

對該模型的六種反對意見中，最根本的是最后一種，即無法計算出維度的分裂。理由很簡單：微擾理論的所有情況中，時空維數(shù)都是穩(wěn)定的。因此為了讓理論自發(fā)地卷曲成四維和六維宇宙，我們必須求助于非微擾的動力學效應，而這是出了名的難以計算，這就是尋找理論背后的幾何如此重要的原因。模型的幾何公式可能會提供給我們模型的關鍵理解，這將使我們能夠進行非微擾計算，并用理論做出明確的預測。

因此，關于該模型不能在普朗克長度上進行測試的批評實際上有點欺騙性。如果超弦理論能夠成功在動態(tài)上分裂，它也應該能夠向下做出精確到宏觀能量水平的預測。（The superstring theory,if it could be successfully broken dynamically,should be able to make predictions down to the level of everyday energies.）例如，它應該能夠預測夸克的質(zhì)量。因此，我們不必再等幾個世紀就能擁有達到普朗克長度的加速器。

因此，超弦理論面臨的根本問題不非得是實驗問題，它主要是理論上的。該理論的突出問題是計算動態(tài)對稱性破缺，使其在普通能量下將預測和實驗數(shù)據(jù)進行比較。（Thus,the fundamental problem facing superstrings is not necessarily an experimental one.It is mainly theoretical.The outstanding problem of the theory is to calculate dynamical symmetry breaking,so that its predictions can be compared with experimental data at ordinary energies.）

普朗克能量下的基本理論也是普通能量下的基本理論。因此，理論發(fā)展的主要絆腳石是對其非微擾行為的理解。

然而在書本第1部分中我們將遵循歷史先例，提出該模型的半經(jīng)典量子化闡述。正如我們要在本書中強調(diào)的那樣，半經(jīng)典量子化理論似乎是隨機事實的松散組合。因此我們已經(jīng)強調(diào)路徑積分公式（是首先由薛（Hsue）、文二和維拉索羅為了威尼斯諾模型所寫）作為闡述半經(jīng)典量子化理論的最有力方法。盡管路徑積分方法無法揭示模型的底層幾何公式，但它提供半經(jīng)典量子化理論最全面的闡述。

我們不會去找點粒子理論的泛函公式，因為它幾乎可以直接納入弦理論。

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