如果兩個數(shù)都是有理數(shù)，由于有理數(shù)的可列性，則這個問題在算術(shù)中已經(jīng)解決。

如果說 α1 是無理數(shù)，而 α2 是有理數(shù)，則問題也馬上得到解決: α1 是集合R 的某個分割的界限，根據(jù)界限的定義本身我們說 α2<α1 或者 α2>α1 取決 于有理數(shù) α2 屬于此分割的A類或B類.

這里解釋一下一個無理數(shù)可以對實數(shù)集進行分割的概念：

我們首先在有理數(shù)中(對我們來說任何其他的數(shù)暫時還不存在)找這樣的數(shù)，它的平方等于數(shù)2 ，且容易發(fā)現(xiàn)，這種(有理)數(shù)不存在，這就表明:無論我們選擇什么樣的有理數(shù)，我們都將有

都小于B 類的每一個數(shù).現(xiàn)在很明顯的是，如果我們把零和一切負(有理)數(shù)都歸入A類， 上述結(jié)論不會改變.此時我們將得到將整個集合R 分為A和B兩類的一個分割，同時A類 的每一個數(shù)都小于B 類的每一個數(shù).我們約定，若將集合 分成兩個非空的類[即每一個 類中至少包含有一個數(shù)] (A ,B)，而使A 類中的每一個數(shù)都小于B類中的任意數(shù)，就稱它是一個割(確切地說是集合 的分劃) .我們因此也得到了集合R 的某個確定的分割.

最后，設(shè)數(shù) α1 和α2 是兩個無理數(shù).因為這兩個數(shù)互不相同，則以它們?yōu)榻缦薜哪莾蓚€分割也互不相同.

先解釋一個無理數(shù)可以對實數(shù)集進行分割：

我們首先在有理數(shù)中(對我們來說任何其他的數(shù)暫時還不存在)找這樣的數(shù)，它的平方等于數(shù)2 ，且容易發(fā)現(xiàn)，這種(有理)數(shù)不存在，這就表明:無論我們選擇什么樣的有理數(shù)，我們都將有

都小于B 類的每一個數(shù).現(xiàn)在很明顯的是，如果我們把零和一切負(有理)數(shù)都歸入A類， 上述結(jié)論不會改變.此時我們將得到將整個集合R 分為A和B兩類的一個分割，同時A類 的每一個數(shù)都小于B 類的每一個數(shù).我們約定，若將集合 分成兩個非空的類[即每一個 類中至少包含有一個數(shù)] (A ,B)，而使A 類中的每一個數(shù)都小于B類中的任意數(shù)，就稱它是一個割(確切地說是集合 的分劃) .我們因此也得到了集合R 的某個確定的分割.

特別地，這兩個分割的左邊的類A1和A2 也互不相同.這就表明在這些集合中的某一個，例如A2，可以找到這 樣一個有理數(shù) r是在 A1中所沒有的.

從r不屬于A1，得出

兩種情形之一一定應當成立。