#練習(xí)生打卡

上節(jié)課討論收斂域（除端點(diǎn)），這節(jié)課討論分析性質(zhì)（跟換序問題緊密相連）。

1.三個(gè)例子表明冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)處的斂散情況需要單獨(dú)討論。

2.討論分析性質(zhì)。

①Weierstrass判別法保證冪級(jí)數(shù)在(-R,R)上內(nèi)閉一致收斂，從而冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在(-R,R)上連續(xù)（可逐項(xiàng)求極限），且Riemann可積（可逐項(xiàng)積分），又由上極限的性質(zhì)推導(dǎo)出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在在(-R,R)上存在任意階導(dǎo)數(shù)（可逐項(xiàng)任意階求導(dǎo)）。

剛才這段話已經(jīng)說明做這些操作不改變收斂半徑。

②感想：在學(xué)微積分的時(shí)候冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分都是默認(rèn)可以的，直接計(jì)算就行。學(xué)數(shù)學(xué)分析才能意識(shí)到本來(lái)這樣做是有風(fēng)險(xiǎn)的，保證這樣做合理需要花費(fèi)很大的心思，從證明過程可以看到，之前鋪墊的內(nèi)閉一致收斂、Weierstrass判別法、上極限性質(zhì)等等都派上了大用場(chǎng)。

3.Abel第二定理開頭。

①意思：如果一個(gè)冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)收斂，則在端點(diǎn)處單側(cè)連續(xù)。

②證明：call back之前講Abel判別法的時(shí)候說它的重要作用是證明Abel第二定理。

③深刻內(nèi)涵下節(jié)講。