高中數(shù)學(xué)高次函數(shù)方程一題多解
例題
（多選題）對于如圖的函數(shù)
極小值點(diǎn)取值范圍（）
極大值點(diǎn)的取值范圍（）
A.(1,3）? ? ?
B.(-1,1)? ? ?
C.{1}? ? ?
D{-1}? ? ?
E{3}
解析一
常規(guī)求一階導(dǎo)得
令其等于0得
即求以下方程的根，并分析根兩邊函數(shù)的情況即可
此時(shí)我們可以用三次方程的求根公式解出根，但運(yùn)算量大且復(fù)雜，這時(shí)我們可以猜根，常見的根有1，-1，2，-2，0，1/2，-1/2等，我們把這些數(shù)代入，發(fā)現(xiàn)1是符合方程的，即1是方程的一根，這種方法為盲目猜根法
那么有人就問了，有沒有科學(xué)一點(diǎn)的猜根法呢？
當(dāng)然有！
下面我來介紹一種科學(xué)猜根法：
首先我們設(shè)x=p/q，其中p和q互質(zhì)，且都是整數(shù)（這很重要），還是以這個(gè)方程為例，我們得到
整理得
進(jìn)一步整理得
我們觀察等號右邊為整數(shù)，那么左邊也必為整數(shù)，但p和q互質(zhì)，它們相除為什么為也為整數(shù)？正是因?yàn)閜等于p^3的系數(shù)1的約數(shù)，即p等于1或-1
同理我們把q^3放右邊整理得
同理可得q等于1或-1
所以x的整數(shù)解為1或-1，帶入檢驗(yàn)得1符合方程
于是我們得到了一條一般結(jié)論：對于一般的高次方程，q可能為最高項(xiàng)系數(shù)的約數(shù)，p能為最低項(xiàng)系數(shù)的約數(shù)（常數(shù)項(xiàng)視為0次項(xiàng)），最后要帶入檢驗(yàn)
接下來我們就知道方程的一個(gè)因式是（x-1），于是我們就有
接下來介紹幾種求出剩下因式的方法：
長除法
待定系數(shù)法
不妨設(shè)
展開得
各次項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)相等得
所以我們有
解以下這個(gè)二元一次方程即可
易解得
其實(shí)我們可以用待定系數(shù)一步到位，我們令
展開得
即可求出a和b,即x1和x2
這兩種待定系數(shù)沒有哪個(gè)絕對好，關(guān)鍵看你要提取出什么東西或怎樣更好算
然后二階求導(dǎo)得
所以一階導(dǎo)函數(shù)圖像為
所以一階導(dǎo)函數(shù)圖像為
所以原函數(shù)圖像為
所以答案為AB；C.
那么，到這里整道題是否結(jié)束了呢？
并沒有
我們回想一下我們剛開始的科學(xué)猜根法，直接用于題目的四次方程會怎么樣？
顯然q為四次項(xiàng)的系數(shù)的約數(shù)1或-1，p為常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)的約數(shù)1，-1，3，-3
所以x可能取1，-1，3，-3，帶入檢驗(yàn)得1，-1，3符合
用待定系數(shù)法得
所以
接下來我們介紹一種知道方程的根畫函數(shù)圖象的方法——序軸穿根法
我們知道三個(gè)根把函數(shù)分為四部分
（-∞，-1）（-1，1）（1，3）（3，+∞）
我們分類討論
在（-∞，-1）上，
（x-1)^2恒大于0，
（x-3)小于0，
（x+1)小于0,
所以函數(shù)整體大于0
同理我們得
在（-1，1）上，函數(shù)整體小于0
在（1，3）上，函數(shù)整體小于0
在（3，+∞）上，函數(shù)整體大于0
所以我們得到函數(shù)大致圖像
那么我們在日常如何操作呢
我們先在x軸上標(biāo)出根的分布
接著觀察括號的指數(shù)，以圖的右上角為起點(diǎn)畫線，記住口訣“奇穿偶彈”（系數(shù)為奇數(shù)的根就穿過去，系數(shù)為偶數(shù)的根就彈過去，如圖）
由圖得答案為AB；C.
對于一般的如下式子：
也可以使用該方法
總結(jié)
猜根（盲目猜根or科學(xué)猜根）
因式分解
1.兩種待定系數(shù)
2.長除法
3.公式法（立方和差公式，完全平方公式，求根公式等）
4.換元解兩個(gè)方程（這里不作討論）
畫高次方程函數(shù)圖像步驟
因式分解
序軸穿根法
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